Il blog delle scienze: L'iperbole

mercoledì 27 marzo 2013

L'iperbole

Dato che immagino che il programma di matematica andrà avanti e dovremo studiare le iperboli,ecco qui un breve resoconto su cosa sia un'iperbole. Di seguito ci sono anche le equazioni fondamentali,eccentricità e anche altri elementi presenti nell'ellisse Clicca qui(su cui si è appena fatta la verifica).

L'iperbole è una delle sezioni coniche.

Grafico di un'iperbole equilatera $y=\tfrac{1}{x}$ .

In geometria si definisce come l'intersezione di un cono circolare retto con un piano(Clicca qui).

iperbole come luogo dei centri delle ellissi tangenti a due ellissi date

In geometria analitica, fissati due punti detti fuochi e un numero reale positivo 2a, con 2a < d(F, F'), si definisce come il luogo geometrico dei punti del piano aventi come costante la differenza delle distanze con i fuochi.
In algebra, un'iperbole è una curva del piano cartesiano definita da un'equazione del tipo

$A x^2 + B xy + C y^2 + D x + E y + F = 0,$

tale che $B^2 > 4 AC$ , dove tutti i coefficienti sono reali, e dove esiste più di una soluzione che definisce una coppia di punti dell'iperbole.

Se l'iperbole ha il centro coincidente con l'origine degli assi coordinati e ha gli assi non coincidenti con gli assi cartesiani, allora se essa interseca l'asse delle x (y=0) l'equazione diventa

$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1,$

Se invece l'iperbole interseca l'asse delle y(x=0) l'equazione è

$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=-1$ .

In entrambi i casi gli asintoti dell'iperbole hanno equazione $y=\pm\frac{b}{a}x$ .

Equazioni cartesiane

L'iperbole avente centro nel punto $C(x_c,y_c)$ , (quindi traslata) ha equazione

$\frac{\left( x-x_c \right)^2}{a^2} - \frac{\left( y-y_c \right)^2}{b^2} = 1$

Se si applica una rotazione degli assi di 90 gradi, si ottiene l'equazione:

$\frac{\left( y-y_c \right)^2}{a^2} - \frac{\left( x-x_c \right)^2}{b^2} = 1$

In entrambe le formule $a$ è detto semiasse maggiore; è la metà della distanza tra i due rami; $b$ è chiamato semiasse minore. Si noti che $b$ può essere maggiore di $a$ ; questa incongruenza viene risolta da alcuni testi invertendo le costanti $a$ e $b$ . In questo caso l'equazione dell'iperbole che interseca l'asse delle $y$ viene scritta come: